Российский математик предложил новый способ вычислений с бесконечностью

Российский математик предложил новый способ вычислений с бесконечностью

Дело в том, что в области точных наук ученым нередко приходится работать с бесконечно большими и бесконечно малыми числами. Ранее для них использовались символьные обозначения, в частности знак ∞, и в итоге полученные результаты были верными, но не вполне точными. Новый подход позволяет получать численные ответы при выполнении операций с бесконечностью.

Давным-давно для записи чисел люди использовали небольшой набор символов, а иногда и просто палочки. Эти символы и их группы называют нумералы и применяют для записи чисел. Например, 10 и Х — это два разных нумерала, выражающих одно и то же число в арабской и римской системах записи.

Некоторые народы до сих пор используют простейшие системы записи чисел. Например, племя Пираха, живущее в наши дни в Амазонии, применяет очень простую систему нумералов для счета: один, два, много. Пираха не знают о существовании чисел больше двух, и у них такие операции, как 2+1 и 2+2, дают одинаковый результат, то есть «много». Они не в состоянии различать числа 3 и 4, не могут выполнять арифметические операции c ними и в целом не в состоянии сказать что-либо об этих числах, поскольку в их языке нет ни слов, ни концепций для этого.

Уровень сложности математических операций в разных цивилизациях рос постепенно. Народы создавали свои системы записи, в которых большие числа можно было написать, используя один или несколько относительно простых символов. Огромным прорывом в математике стало «изобретение» ноля, а затем и возникновение степенной записи. А теперь нам не надо даже рисовать ноли, чтобы обозначить миллиард, мы просто пишем 10⁹.

Написание числа 1000 в разных древних системах счисления.

А что делать с числами, которым, на первый взгляд, невозможно дать определение? Бесконечно большие и бесконечно малые — как написать то, что сложно принять? Мы окружены предметами, имеющими контуры, поэтому при попытках понять отсутствие границ наш мозг буквально «зависает».

Традиционный взгляд на концепцию бесконечности можно описать следующим образом. Предположим, некий жадный человек отделяет от пирога огромный кусок. Но как этот жмот ни старается, все равно отрезаемый кусок оказывается меньше изначально целого пирога. А вот если бы выпечка обладала «бесконечным» размером, закон «кусок меньше целого» действовать бы перестал. Это трудно представить, но наш жадина умудрился бы отрезать себе часть, равную по размерам нетронутому пирогу! Таким образом, при выполнении действий с бесконечностью большинство привычных математических операций перестает работать.

Так художник представил себе отделение куска от бесконечного пирогаТак художник представил себе отделение куска от «бесконечного» пирога.

Долгое время для обозначения бесконечности ученые пользовались просто символом ∞, что причиняло неудобства при исследованиях в высшей математике. Но предложенная российским математиком Ярославом Сергеевым новая методология позволяет вычислить у определенных бесконечных множеств число их элементов — то есть кусков рассматриваемого пирога. Прежде всего Ярослав Сергеев предложил исключить из используемых нумералов символ ∞, традиционно применяемый для представления бесконечности, и ввел вместо этого гроссуан (большую единицу, ①).

С помощью новой методологии можно определить, что количество четных натуральных чисел равно ①/2, нечетных натуральных чисел — ①/2, всех натуральных чисел — ①, а целых чисел — 2①+1. Если мы из множества целых чисел исключим ноль, то количество оставшихся чисел будет равно 2①. Тогда можно начать оперировать с бесконечностью и рассчитать число элементов с точностью до одного у определенных множеств.

Операции с гроссуаном.

Поскольку данная система записи богаче, новый подход позволяет провести уточненные расчеты и дает возможность различить большее количество бесконечных чисел. И при этом ни в коем случае не противоречит существующим математическим взглядам, но дополняет их. Это доказал известный итальянский логик профессор Габриэле Лолли, а подтвердили активное использование новой системы ученые в России, Европе и США для решения задач оптимизации, численного дифференцирования, перколяции (протекания жидкостей или электричества через различные материалы), клеточных автоматов, решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

«При этом введение ① позволяет построить математический анализ, в котором не появляются неопределенные формы вида ∞-∞, ∞/∞, 0*∞. Как следствие, бесконечные ряды становятся суммами с бесконечным числом слагаемых n, где значение n определяется в зависимости от решаемой задачи (например, ①/2, 3①, ①2−1), как это происходит и для конечных n», — рассказывает Ярослав Сергеев.

Ярослав Сергеев.

Данный подход дает ответы на серию классических вопросов и парадоксов, в которых фигурируют бесконечно большие и бесконечно малые числа, в частности на первую и восьмую проблемы Гильберта. На основе новой системы счисления построен программный прототип компьютера, выполняющего численные (не символьные!) вычисления с конечными, бесконечно большими и бесконечно малыми величинами.

За ряд открытий в математике Ярослава Сергеева наградили престижными международными премиями, в том числе «Аль-Хорезми"-2016 и премией международного конгресса World Congress in Computer Science, Computer Engineering, and Applied Computing в 2015 году.


Похожие новости
10 великих цивилизаций, прекративших своё существование 13 сент. 2014 г.

10 великих цивилизаций, прекративших своё существование

Историю человечества можно сравнить с биографией одной семьи — с течением времени одни домочадцы уходят, другие появляются на свет, и каждый проживает жизнь по-своему, оставляя те или иные воспоминания о себе. В случае с глобальной «семьёй» homo sapiens...

дальше...

Папа Римский ответил на вопрос о "божественности" Месси 01 апр. 2019 г.

Папа Римский ответил на вопрос о "божественности" Месси

Папа Римский Франциск прокомментировал высказывания футбольных фанатов, которые называют нападающего "Барселоны" и сборной Аргентины Лионеля Месси богом."Теоретически называть Месси богом является кощунством, нельзя говорить подобное или верить в это...

дальше...

Люди, которые не знают цивилизации. 5 затерянных племен 26 июля 2015 г.

Люди, которые не знают цивилизации. 5 затерянных племен

Поразительно, но в наш век атомной энергии, лазерных пушек и исследования Плутона еще существуют первобытные люди, почти не знакомые с внешним миром. По всей земле, кроме Европы, разбросано огромное количество таких племен. Одни живут в полной изоляции...

дальше...

Русь и Европа. Ещё раз о варварстве и цивилизации 09 сент. 2014 г.

Русь и Европа. Ещё раз о варварстве и цивилизации

Исторические мифы о высокой западной культуре и русской «отсталости» сложились далеко не сразу. В эпоху Раннего Средневековья картина выглядела откровенно противоположной. Европа в те времена рассыпалась и перемешалась в диком феодальном хаосе. Короли...

дальше...

20 изобретений, которые были сделаны в неожиданных странах 03 июля 2015 г.

20 изобретений, которые были сделаны в неожиданных странах

Сегодня в повседневном обиходе мы используем массу самых разнообразных вещей и приспособлений начиная от туалетной бумаги и заканчивая спидометрами, не задумываясь, где они были придуманы. Мы собрали список из 20 изобретений, пришедших к нам из тех стран...

дальше...

Ученые представили «математическую вселенную» 10 мая 2016 г.

Ученые представили «математическую вселенную»

Изображение: LMFDBУченые из США, Германии и Великобритании официально представили проект LMFDB (L-functions and Modular Forms Database), объединяющий в общий каталог большинство встречающихся в теории чисел объектов. О математической вселенной сообщает...

дальше...

Нейробиологи доказали красоту математики 13 февр. 2014 г.

Нейробиологи доказали красоту математики

Нейробиологи из Великобритании показали, что ощущение красоты формулы, которое испытывают математики при взгляде на нее, очень схоже с ощущением, которое обычные люди испытывают при прослушивании музыки или при просмотре живописи. Статья ученых появилась...

дальше...

Математик доказал невозможность спрятаться за зеркалами полностью 04 окт. 2017 г.

Математик доказал невозможность спрятаться за зеркалами полностью

Российский математик из Института проблем передачи информации ввел «индекс видимости» тела в такой системе и получил для него оценку снизу, оказавшуюся отличной от нуля. Работа опубликована в журнале Proceedings of the...

дальше...

Последние новости

Новости на сегодня 18 мая 2022 г.